Chapitre n°6 Etudes d’un dipôle électrique RC

I. L’intensité du courant électrique

L’intensité du courant électrique correspond au débit de charges électriques, c’est à dire à la quantité d’électricité qui traverse la surface S d’un conducteur par seconde.

L’intensité du courant électrique i(t) est égale à la dérivée par rapport au temps de la quantité d’électricité q(t) qui traverse une section de conducteur.

La charge se note en coulomb : q(C)
La variation de charge se note ∆q(C)
La durée du transfert de charge se note : ∆t(s)
Le courant électrique i à un instant donné t est le rapport de la charge transférée ∆q sur la durée du transfert ∆t :

Lorsque ∆t tend vers zéro alors le courant électrique est la dérivée de la charge transférée par rapport au temps notée  :

II. Constitution d’un condensateur

1) Brève histoire du condensateur

La bouteille de Leyde est l’ancêtre du condensateur, elle fut créée en 1745 dans l’objectif de provoquer des commotions électriques dans les foires ou dans les cours d’ Europe.

 

 

2) Constitution d’un condensateur

Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs placés l’un en face de l’autre du et séparés par un isolant. Les deux conducteurs sont appelés armatures condensateur.

Dans un circuit électrique, le symbole normalisé d’un condensateur est:

3) Comportement d’un condensateur et capacité :

 

Un condensateur se charge lorsqu’il est soumis à une tension électrique. Un courant électrique circule alors, ce qui permet à des charges de signes opposés de s’accumuler sur chacune armatures. Il apparait alors une tension électrique entre les deux armatures. La tension est fléchée dans le sens opposé à celui du courant électrique

L’aptitude d’un condensateur à accumuler sur ses armatures les charges électriques est appelé capacité. Elle est notée C, elle caractérise un condensateur et elle s’exprime en farad (F).

Les condensateurs usuels ont souvent des capacités de quelques microfarad (1μF = 1×10^-6 F) ou nanofarad ((1 nF = 1×10^-9 F)

4) Relation entre charge électrique et tension aux bornes d’un condensateur

La charge portée par un condensateur est proportionnelle à la tension à ses bornes.
On a q_A =q=C.u_AB=C.u_C

5) Relation entre i et u_C

On a la relation : q=C.u_C

On dérive cette égalité et on trouve : dq/dt=C.du_C/dt

Mais le courant électrique est la dérivée de la charge pare rapport au temps : i=dq/dt

On en déduit i=C.du_C/dt

 

III. Charge d’un condensateur

L’association d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R constitue un dipôle (R,C).

 

1) Aspect expérimental et temps caractéristique :

A t = 0s , on ferme le circuit par l’intermédiaire de l’interrupteur K. Le condensateur se charge. On suit alors l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.

Pour un circuit RC le temps caractéristique est

 τ =R.C

La charge n’est pas instantanée, on parle de régime transitoire.

La constante de temps caractéristique du circuit noté τ (tau) permet de prévoir la durée de charge car le condensateur est chargé à 99 % au bout d’une durée t égale à 5τ.

Pour mesurer τ on a deux méthodes :

2) Étude théorique

a. Établissement de l’équation différentielle 

D’après la loi des mailles E-u_R -u_C =0
Soit : E=u _R +u _C

On réduit cette équation par rapport à une seule variable : u_C

On a u_R=R.i et q=C.u_C

Soit u_R =R.dq/dt

Et dq/dt=C. du_C/dt

On a donc l’équation différentielle :

E=R.C du_C/dt+u_C

on pose τ =R.C et on en déduit:

E= τ. du_C/dt+ uC

Ou:

E/τ= du_C/dt+ u_C /τ

b. Résolution de l’équation différentielle

l’ équation ci-dessus est une équation différentielle du premier ordre de la forme:

y’(x)+ay(x)=b avec a =1/τ et b=E/ τ

L’ensemble des solutions de cette équation sont de la forme :

On vérifie que cette solution convient à l’équation différentielle et on détermine la constante A avec les conditions initiales : soit à t=0s u _C (0)=0 On en déduit que soit A=-E
 on obtient ainsi:

On distingue du régime permanent pour : t<5.τ

un régime transitoire pour : t>5.τ

IV. Décharge du condensateur

1) aspect expérimental

Le condensateur initialement chargé est relié au conducteur ohmique. A t = 0s, on ferme le circuit par l’intermédiaire de l’interrupteur K

2) Détermination de la constante de temps τ

Le condensateur se décharge dans le conducteur ohmique. On suit alors l’évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.
Le temps caractéristique, τ peut se mesurer par deux méthodes:
Lorsque u_C=0,37.E alors t=τ
La tangente à l’origine de la fonction uC(t) a un point d’intersection avec l’axe des abscisses  pour t=τ

3) Etude théorique de la décharge d’un condensateur

Lorsque l’interrupteur K est fermé, la loi des mailles nous donne :

u_R+u_C=0

Avec u_R=Ri=RCdu_C/dt

On pose τ=R.C et on obtient

τ.du_C/dt+u_C=0

ou

du_C /dt+(1/ τ) u_C=0

Cette équation est une équation différentielle du premier ordre de type y’+ay=0 avec a=1/ τ

L’ensemble des solutions de cette équation donnent une équation de la forme:

La constante A se trouve selon les conditions à l’origine: Avec u_C(0)=E soit


On distingue un régime transitoire d’un régime permanent au delà de t=5.τ