Chapitre n°8 la forme de la Terre

I. La forme de la Terre

a. Introduction sur l’histoire de la perception de la forme de la Terre

Lors de l’antiquité des conceptions différentes de la forme de la Terre se sont succédées avec des observations et théories comme justifications souvent en contradiction avec les héritages mythologiques. L’époque permettaient la controverse, ainsi Anaxagore et Thalès pensaient que la Terre était plate alors qu’Aristote et Eratosthène pensaient qu’elle était sphérique.

b. Argument et exploitation d’une terre plate

Thales, philosophe, mathématicien, météorologue de l’antiquité, en -640 ans avant Jésus-Christ, est un des premiers à vouloir expliquer le monde par une démarche scientifique, notamment en météorologie, Il pensait que la Terre était un disque plat entouré d’eau.  

Anaxagore Vers l’an -450 avant Jésus-Christ, pensait également que la Terre était un disque. Il déduit de cette vision, grâce aux longueurs des ombres d’un gnomon, différentes entre Syène et Alexandrie, le jour du solstice d’été, que le Soleil était une petite boule de feu de 60 km de diamètre qui flottait dans l’air à 6500 kilomètres d’altitude.

Exercice n°1

Vérifier le résultat d’Anaxagore si a=7,2° et d=800km
Le Soleil est vu sous un angle de α =0,5°

Correction
Distance Terre-Soleil : On applique la relation : tan a = d / h
On en déduit : h = d / tan a. L’application numérique donne :h= 800 / tan 7,2 = 6515 km.
Diamètre du Soleil : Un angle de α=0,5° correspond en radian à 0,5.3,14/180=8,7.10-3 rad.
Le diamètre D du soleil est donc D≈α.h. L’application numérique donne D≈8,7.10-3.6515=57km

c. Argument et exploitation d’une Terre sphérique Strabon -220 avant Jésus Christ a montré que la Terre était sphérique du moins courbée par la simple observation d’un bateau qui s’approche à l’horizon. Les voiles apparaissent avant la coque plus rapidement pour un observateur A en altitude que pour un observateur B au sol.

Aristote-350 avant Jésus-Christ   fait valoir des forces d’équilibre pour justifier la rotondité de la Terre. Eratosthène, mathématicien grecque en -250 avant Jésus-Christ   considéra les mêmes observations qu’Anaxagore mais y associa la pensée d’Aristote d’une Terre sphérique et d’un Soleil très éloigné. Il organisa une expédition pour mesurer exactement la distance entre Alexandrie et Syène avec des chameaux.

Exercice n°2
Déterminer la longueur du méridien terrestre si la distance entre Alexandrie et Syène est d=800km et l’angle a est de 7,2°

Correction
Le rapport de 360/7,2 est de 50.
La circonférence de la Terre est donc 50 fois la distance Syène Alexandrie
L’application numérique donne 50*800=40000km

Remarque

Une théorie précède l’expérience, le principe des sciences inventé par les grecs est de confronter les résultats attendus à ceux obtenus par l’expérience. Une vérité scientifique ne repose pas seulement sur des calculs mathématiques mais sur une vision du monde soit un paradigme.

II. D’où vient la mesure exacte du mètre ?

En 1792 les français jean Baptiste Delambre et Pierre Méchain ont la charge de déterminer précisément la longueur du méridien terrestre pour faire progresser les sciences mais aussi pour définir très précisément le mètre afin d’uniformiser les unités de longueurs. Ils organisent alors une expédition pour déterminer par 500 milles   triangulations la distance « exacte », à l’aide d’un cercle répétiteur de borda, la distance entre Dunkerque et Barcelone. Principe de la triangulation : Sur un triangle on connait une de ses longueurs et deux de ses angles., on a alors les relations suivantes :

Exercicen°3
Pour la première étape de leurs mesures jean Baptiste Delambre et Pierre Méchain commencèrent par le premier triangle Melun, Lieusaint, Malvoisine :
On a la distance entre Meulin et Lieusaint :  d_L-Me=11,55km
Les angles α=75,19°             et β=64,47°
Déterminer les distances Lieusaint et Malvoisine :   d_L-Ma. 
Puis celle entre Meulin et Malvoisine : d_Me-Ma

Correction :
Distance Lieusaint-Malvoisine
On a les relations :    . On en déduit
On isole dL-Ma, On en déduit : 
L’application numérique donne :  =16,10km
Distance Malvoisine-Meulin
On a la relation
On en déduit    
L’application numérique donne :  = 17,25km

Exercice n°4
La longitude de Dunkerque et de Barcelone est pratiquement la même soit 2,2°Est.
Mais les latitudes sont différentes. Celle de Dunkerque est de 51,034°Nord, et celle de Barcelone est de 41,38°Nord. La distance entre Dunkerque et Barcelone est de 1073km. En déduire la longueur du méridien terrestre.

Correction
l’arc de cercle entre Dunkerque et Barcelone a pour longueur 1073 km pour un angle de
51,034-41,38=9,654°
On en déduit la longueur du méridien terrestre L=(360/9,654)*1073=40012km
Le mètre est donc le 1/40 millionième du méridien terrestre 

III. Comment se repérer à la surface de la terre

La marine anglaise a longtemps maitrisé les mers mais un problème demeurait car il était possible de mesurer la latitude d’un bateau en mer par la hauteur du soleil à son zénith à l’aide d’un sextant.  Mais la longitude fut longtemps un problème important pour les marins, il fut résolu par la construction d’un chronomètre de marine soit une montre d’une grande précision. 1. Mesure de la latitude Un sextant est un appareil qui permet de mesurer les angles entres des astres ou entre des astres et l’horizon. Un système de miroir avec des filtres permettent de mesurer l’angle que fait le Soleil à son zénith avec l’horizon. Lorsque le Soleil, et l’horizon sont superposés dans la lunette du sextant l’angle mesuré sur le sextant avec le vernier et la loupe correspond à l’angle que fait le soleil avec l’horizon.

2. Mesure de la longitude Le décalage horaire lorsque le Soleil était à son zénith, soit le midi local  par rapport à l’heure de midi du méridien de Greenwich donnait au marin leur longitude sur le globe terrestre, il fallait pour cela une montre d’une très grande précision.

3. Se repérer sur le globe terrestre, longitude et latitude

Le repérage en mer consiste à déterminer : La latitude : Ce sont des cercles, les parallèles, dont le centre est sur l’axe Nord-Sud.  L’angle ϕ est repéré depuis l’équateur de 0 à 90° Nord et de 0 à 90° Sud.        Pour le point  P : ϕ =40° Nord   La Longitude : Ce sont des arcs de cercles passant par les pôles Nord et Sud. L’angle ϕ est repéré depuis le méridien de Greenwich de 0° à 180° Ouest et de 0à 180° Est.           Pour le point P : λ =60° Ouest

Exercice n°5

Placer les points suivants sur le globe ci-dessous Points Latitude Longitude A 40° Nord  40° Ouest B 0°  40° Ouest C 60° Nord  20°Est D 60° Nord  40° Est On donne La longueur de l’arc de cercle L est le produit de l’angle α en radian multiplié par le rayon de l’arc de cercle r.Soit L= α.r   Rayon de la Terre R=6400km Déterminer la distance entre les points A et B Correction dAB= =(40.3,14/180).6400=4465,8km